Лабораторная работа № 2
2026-02-22
Построить математическую модель задачи преследования и определить стратегию движения, обеспечивающую гарантированный перехват цели.
Рассматривается ситуация: в условиях тумана катер береговой охраны преследует лодку. После кратковременного улучшения видимости лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км, затем снова исчезает и продолжает равномерное прямолинейное движение.
Скорость катера превышает скорость лодки в \(n\) раз. Требуется определить форму траектории катера, обеспечивающую встречу.
Положим \(t_0 = 0\) — момент обнаружения.
Примем: - положение лодки за начало координат, - расстояние между объектами равно \(k\).
Переходим к полярной системе \((r, \theta)\): - полюс — точка обнаружения лодки, - ось \(r\) направлена к катеру.
Пусть через время \(t\) расстояния до полюса сравняются и станут равными \(x\).
Используя равенство времён движения и учитывая отношение скоростей \(n\), получаем два варианта начальных условий:
case = plus \[ r_0 = \frac{k}{n+1}, \quad \theta_0 = 0 \]
case = minus \[ r_0 = \frac{k}{n-1}, \quad \theta_0 = -\pi \]
Эти значения определяют момент перехода к управляемому «обходу» цели.
Полная скорость катера равна \(nv\). Разложим её на составляющие:
Из соотношения \[ (nv)^2 = v_r^2 + v_\tau^2 \]
и условия \(v_r = v\) получаем \[ v_\tau = v\sqrt{n^2-1}. \]
Таким образом,
\[ \begin{cases} \frac{dr}{dt} = v, \\ r\frac{d\theta}{dt} = v\sqrt{n^2-1}. \end{cases} \]
Исключая параметр \(t\), получаем уравнение траектории:
\[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]
Решение данного уравнения представляет собой логарифмическую спираль.
Для расчётов принято: - \(k = 20\) км, - \(n = 5\).
Цель — визуализировать движение и определить точку пересечения траекторий.
Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \]
следует, что коэффициент роста равен \(1/\sqrt{n^2-1}\).
Следовательно:
Введём показатель:
\[ \text{scale\_ratio} = \frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]
Интерпретация:
Результаты: