Цель исследования

Построить математическую модель задачи преследования и определить стратегию движения, обеспечивающую гарантированный перехват цели.

Рассматривается ситуация: в условиях тумана катер береговой охраны преследует лодку. После кратковременного улучшения видимости лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км, затем снова исчезает и продолжает равномерное прямолинейное движение.

Скорость катера превышает скорость лодки в \(n\) раз. Требуется определить форму траектории катера, обеспечивающую встречу.

Задачи работы

1. Получить дифференциальную модель движения при соотношении скоростей \(n:1\).
2. Исследовать два варианта начальных условий.
3. По графикам определить точку перехвата.

Выбор системы координат

Положим \(t_0 = 0\) — момент обнаружения.

Примем: - положение лодки за начало координат, - расстояние между объектами равно \(k\).

Переходим к полярной системе \((r, \theta)\): - полюс — точка обнаружения лодки, - ось \(r\) направлена к катеру.

Определение стартового радиуса

Пусть через время \(t\) расстояния до полюса сравняются и станут равными \(x\).

Используя равенство времён движения и учитывая отношение скоростей \(n\), получаем два варианта начальных условий:

• case = plus \[ r_0 = \frac{k}{n+1}, \quad \theta_0 = 0 \]

• case = minus \[ r_0 = \frac{k}{n-1}, \quad \theta_0 = -\pi \]

Эти значения определяют момент перехода к управляемому «обходу» цели.

Декомпозиция скорости катера

Полная скорость катера равна \(nv\). Разложим её на составляющие:

• радиальная: \[ v_r = \frac{dr}{dt} \]
• тангенциальная: \[ v_\tau = r \frac{d\theta}{dt} \]

Из соотношения \[ (nv)^2 = v_r^2 + v_\tau^2 \]

и условия \(v_r = v\) получаем \[ v_\tau = v\sqrt{n^2-1}. \]

Система уравнений движения

Таким образом,

\[ \begin{cases} \frac{dr}{dt} = v, \\ r\frac{d\theta}{dt} = v\sqrt{n^2-1}. \end{cases} \]

Исключая параметр \(t\), получаем уравнение траектории:

\[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]

Решение данного уравнения представляет собой логарифмическую спираль.

Исходные параметры

Для расчётов принято: - \(k = 20\) км, - \(n = 5\).

Цель — визуализировать движение и определить точку пересечения траекторий.

Базовый эксперимент: case = plus

Анализ

• траектория катера — расходящаяся спираль;
• радиус монотонно увеличивается с ростом \(\theta\);
• лодка в полярной системе отображается как луч.

Базовый эксперимент: case = minus

Анализ

• начальный радиус больше;
• спираль смещена наружу;
• характер зависимости сохраняется, изменяется масштаб.

Влияние параметра \(n\)

Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \]

следует, что коэффициент роста равен \(1/\sqrt{n^2-1}\).

Следовательно:

• малые \(n\) → быстрый рост спирали;
• большие \(n\) → более плавное увеличение радиуса;
• форма траектории остаётся спиральной.

Относительный масштаб траекторий

Введём показатель:

\[ \text{scale\_ratio} = \frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]

Интерпретация:

• при малых \(n\) катер существенно опережает лодку по радиальному удалению;
• с ростом \(n\) различие сокращается;
• для режима case=minus значение больше из-за увеличенного стартового радиуса.

Временные характеристики вычислений

Результаты:

• среднее время расчёта около \(6\times10^{-4}\) с;
• выраженной зависимости от \(n\) не выявлено;
• отклонения обусловлены особенностями численного метода.

Основные выводы

1. Движение катера описывается логарифмической спиралью.
2. Параметр \(n\) регулирует интенсивность радиального роста.
3. Начальные условия влияют на масштаб, но не изменяют форму траектории.
4. Численная реализация демонстрирует устойчивость и малые вычислительные затраты.